2011 год ИГГ, ДонНТУ;
Руководитель: Рубцова Ольга Алексадровна,
Старший преподаватель,
Кафедра высшей математики им. В.В.Пака, ДонНТУ
МЕТОДЫ, ОСНОВАННЫЕ НА ПРИМЕНЕНИИ ЧИСЛЕННЫХ НЕРАВЕНСТВ
Нестандартными методами в математике являются также методы, в основу которых положено использование известных численных неравенств (Коши, Бернулли и Коши-Буняковского), изучению которых в общеобразовательной школе не уделяется или почти не уделяется никакого внимания. Однако многие математические задачи (особенно задачи повышенной сложности) эффективно решаются именно такими методами. В этой связи незнание последних может существенно ограничить круг успешно решаемых задач.
Первоначально приведем формулировки неравенства Коши, неравенства Бернулли и неравенства Коши-Буняковского, а затем проиллюстрируем их применение на примерах, взятых из программы вступительных экзаменов.
Неравенство Коши
где 
. Причем неравенство превращается в равенство тогда и, только тогда, когда 
. В частности, если в (1) положить 
, то
Это неравенство чаще всего встречается при решении школьных задач по математике. Если в (2) положить 
и 
, где 
, то
Здесь неравенство равносильно равенству лишь при 
.
Следует отметить, что имеется аналог неравенства (3) для отрицательных значений 
, а именно, если 
, то
Данное неравенство превращается в равенство при 
.
Неравенство Бернулли
Наиболее распространенным является классическое неравенство Бернулли, которое формулируется в следующей форме: если 
, то для любого натурального 
имеет место
Причем равенство в (5) достигается при 
или 
.
Наряду с (5) существует обобщенное неравенство Бернулли, которое содержит в себе два неравенства:
если 
или 
, то
если 
, то
где .
Следует отметить, что равенства в (6) и (7) имеют место только при . Верно также и обратное утверждение.
Неравенство Коши-Буняковского
Для произвольных 
и 
имеет место
где .
Причем равенство в (8) достигается в том и, только в том случае, когда числа 
. и 
пропорциональны, т.е. существует константа 
такая, что для всех 
выполняется равенство 
.
На основе использования неравенства Коши-Буняковского (8) можно доказать неравенство
которое справедливо для произвольных 
, 
и натурального числа .
Задачи и решения
Пример 1. Доказать неравенство
где 
.
Доказательство. Преобразуем левую часть неравенства с использованием неравенства (7), т.е.
Так как по условию 
, то равенства в неравенстве Бернулли не будет, поэтому доказано строгое неравенство.
Пример 2. Доказать, если 
, то
Доказательство. Для получения нижней оценки левой части требуемого неравенства первоначально воспользуемся неравенством Бернулли (6), а затем неравенством Коши (2), тогда
Пример 3. Решить уравнение
Решение. Используя неравенство Коши (2), можно записать
т.е. имеет место неравенство
Из зданного уравнения следует, что приведенные выше неравенства Коши обращаются в равенства. А это возможно лишь в том случае, когда 
и 
.
Следовательно, имеем 
и 
.
Ответ: 
, 
; 
, 
; 
, 
; 
, 
.
Пример 4. Решить уравнение
Решение. Применим к левой части уравнения неравенство Бернулли (7), а к правой части — неравенство (6), тогда
и
Отсюда следует, что неравенства Бернулли, примененные к обеим частям уравнения, обращаются в равенство, а это возможно лишь в том случае, когда .
Ответ: .
Литература:
1. А.И.Назаров «Задачи-ловушки», Мн., «Аверсэв»,2006
2.С.А. Барвенов «Математика для старшеклассников», «Аверсэв»,2004
3. С.А. Барвенов «Методы решения алгеброическиж уравнений», «Аверсэв»,2006
4. http://www.refsru.com/referat-655-4.html
