Скачать с Depositfiles

РЕШЕНИЕ СФЕРИЧЕСКОГО ТРЕУГОЛЬНИКА ПО ТЕОРЕМЕ

ЛЕЖАНДРА И СПОСОБУ АДДИТАМЕНТОВ

ИСХОДНЫЕ ДАННЫЕ:

Треугольник триангуляции 1-го класса

№	Широта	Долгота	Измеренный угол
А	47˚ 21′ 55.″557	37˚55′ 16.″480	51˚09′ 05.″39
В	47˚09′ 29.″168	37˚40′ 56.″179	73˚15′ 54.″59
С			55˚35′ 01.″06

ЗАДАНИЕ:

Определить координаты точки С.

ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ:

При помощи программы Prima решаем обратную геодезическую задачу и определяем длину стороны с:

Таблица 1

Решение обратной геодезической задачи

№

A_АВ

A_ВА

A_m

S_АВ

47˚21′ 55.″557

38˚01′ 54.″662

47˚ 09′29.″168

218˚ 12′ 26.″521

37˚ 55′16.″480

38˚ 07′10.″592

37˚ 40′56.″179

29299.345

…

2. Теорема Лежандра утверждает: если стороны плоского и сферического треугольника соответственно равны, то углы плоского треугольника равны углам сферического, уменьшенным на одну треть сферического избытка.

Если обозначить А, В, С углы сферического треугольника, полученные из измерений, а — сферический избыток и вычислить:

; ; ;

где

;

(вычисляется по средней широте),

то А^/, В^/, С^/ есть углы плоского треугольника, стороны которого равны соответственно сторонам сферического треугольника.

Вычисление сферического избытка выполняется в таблице 2.

Таблица 2

Вычисление сферического избытка

Формула	Значения
А В С	29,299345 51^о 09^′ 05,″39 73^о 15^′ 54,″59 55^о 35^′ 01,″06
	0.0025310
sinA sinB sin C	858.4516174 0.778807 0.957648 0.824952
	1.97

3. Решение треугольника триангуляции по теореме Лежандра выполняется в таблице 3.

Стороны плоского треугольника вычисляем по теореме синусов, используя уравненные углы плоского треугольника и известную сторону.

4.Решим сферический треугольник по способу аддитаментов, принимая следующее утверждение:

если углы плоского треугольника равны соответствующим углам сферического, то стороны плоского треугольника меньше соответствующих сторон сферического на величину аддитамента.

Для сторон треугольников меньше 100 км аддитаменты вычисляются по формулам:

А_а=Ка³; А_b=Kb³; A_c=Kc³;

K=1/6R² (значение длин сторон берется в км, аддитаменты получаем в м).

Вычисления производим в таблице 4.

По известной стороне сферического треугольника находим аддитамент и сторону плоского треугольника: S_{плоского}=S_{сферического}-А.

Применяя теорему синусов, по известной стороне плоского треугольника и по углам находим значения недостающих сторон плоского треугольника. Вычисляем аддитаменты найденных сторон и определяем стороны сферического треугольника по формулам: S_{сферического}=Sплоского+А.

5. Вычисляем азимуты направлений АС и ВС, используя уравненные углы сферического треугольника и азимут направления АВ.

6. Используя программу Prima решаем прямую геодезическую задачу и вычисляем широту и долготу точки С от двух исходных точек (А и В).

Таблица 3

Решение треугольника триангуляции по теореме Лежандра

Вершина	Измеренные углы сферического треугольника	Поправка всферические углы	Уравненные углысферического треугольника	-ε/3	Углы плоского треугольника	Sin углов плоского треугольника	Противолежащиестороны
А	51^о09′ 05,″39	+0,″31	51^о09′ 05,″70	-0,″66	51^о09′ 05,″04	0.77880618	27660.442
В	73^о15′ 54,″59	+0,″31	73^о 15′ 54,″90	-0,″66	73^о15′ 54,″24	0.957647115	34012.239
С	55^о35′ 01,06″	+0,″31	55^о35′ 01,37″	-0,″65	55^о35′ 00,″72	0.824951094	29299.345 Нашли по обр.задаче
∑	180^о00′ 01,″04	+0,″93		+1,″97	180^о00′ 00″

ε″ 01,″97

fβ — 0,″ 93 fβ=∑β-(180+ε)

Таблица 4

Решение треугольника триангуляции по способу аддитаментов

Вершина	Уравненные углысферического треугольника	Sin углов сферического треугольника	Стороны плоскоготреугольника	А, м	Сторонысферического треугольника
А	51^о09′ 05,″70 (1)	0,778808187 (4)	27660,355 (11)	0,078 (13)	27660,442 (15)
В	73^о 15′ 54,″90 (2)	0,957648034 (5)	34012,078 (10)	0,162 (12)	34012,240 (14)
С	55^о35′ 01,37″ (3)	0,824952875 (6)	29299,242 (9)	0,103 (8)	29299,345 (7)