5. Оценка точности уравненных значений высот реперов в одиночном нивелирном ходе
Выше было показано, что наиболее надежное значение высоты любого промежуточного репера в одиночном нивелирном ходе определяется как средневзвешенное из значений высоты, полученной из двух звеньев, одно из которых берет начало от начального репера, а второе – от конечного (формула (3.17)). Также было показано, что средняя квадратическая погрешность средневзвешенного определяется по формулам (1.19) или (1.20), которые применительно к уравниванию одиночного нивелирного хода принимают следующий вид
, (5.1)
где 
— вес средневзвешенного значения высоты репера 
.
Если принять 
, то формулу (5.1) можно переписать как
(5.2)
Вес наиболее надежного значения высоты репера согласно (3.17) равен
(5.3)
Тогда для случая, когда в учет принимается количество станций, с учетом (3.15) – (3.16) будем иметь
, (5.4)
а для случая, когда в учет принимаются длины секций, с учетом (3.41)-(3.42) будем иметь
(5.5)
Формула (5.2) в сочетании с формулами (5.3)-(5.5) является основной формулой для оценки точности уравненных значений отметок промежуточных реперов в одиночном нивелирном ходе.
6. Определение наиболее слабого места одиночного
нивелирного хода
Формулы (5.3)–(5.5) показывает, что при данном количестве станций 
или длине хода 
вес изменяется с изменением величины 
или 
. С изменением веса в соответствии с формулой (5.2) будет меняться и средняя квадратическая погрешность уравненных высот промежуточных реперов. Это означает, что высоты реперов будут получены с разной точностью. Наименее надежный результат будет тот, для которого вес будет минимальным. Минимуму соответствует максимум знаменателя в (5.4) или в (5.5), т.е. максимум выражения
(6.1)
или
. (6.2)
Для отыскания значений или , при которых выражения (6.1) или (6.2) принимают максимум, необходимо решить задачу на поиск экстремума. Для этого надо продифференцировать выражение (6.1) по , а выражение (6.2) по , и полученные выражения приравнять к нулю. В результате получим:
(6.3)
и
(6.4)
Отсюда:
(6.5)
либо
(6.6)
Следовательно, наиболее слабым местом уравненного одиночного нивелирного хода является его середина.
Вес высоты репера, расположенного в середине хода, после уравнивания на основании формул (5.4)–(5.5) и (6.5)–(6.6) будет равен:
(6.7)
либо
, (6.8)
а средняя квадратическая погрешность согласно формуле (5.2):
(6.9)
либо
(6.10)
Формулы (6.9) и (6.10) показывают, что после уравнивания погрешность высоты репера в наиболее слабом месте нивелирного хода будет в среднем в два раза меньше, чем погрешность высоты конечного репера нивелирного хода до уравнивания.
На рис. 3 показан график зависимости средней квадратической погрешности высот реперов нивелирного хода в зависимости от положения репера в ходе.
|
|
|
Рис. 3 – Графики зависимости средних квадратических погрешностей |
